Слайд 1

Теорема Пифагора

Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век.

Слайд 2

Формулировка теоремы Доказательства теоремы Значение теоремы Пифагора

Слайд 3

Формулировка теоремы

« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Во времена Пифагора теорема звучала так:

Слайд 4

Современная формулировка

« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Слайд 5

Доказательства теоремы

Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

Слайд 6

Самое простое доказательство

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c.

Слайд 7

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Слайд 8

Доказательство Евклида

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: SABDE=SACFG+SBCHI

Слайд 9

Доказательство:

Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

Слайд 10

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно SPQEA=2SACE Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Слайд 11

Алгебраическое доказательство

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: AB2=AC2+BC2

Доказательство: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB*AD=AC2. 3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит AB*BD=BC2. 4) Сложив полученные равенства почленно, получим: AC2+BC2=АВ*(AD + DB) AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

Слайд 12

Геометрическое доказательство

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC2=AB2+AC2

Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: SABED= (DE+AB)*AD/2. 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2 AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2. Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Слайд 13

Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Слайд 14

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

План урока Организационный момент Организационный момент Повторение Повторение Сообщение о жизни Пифагора Самосского Сообщение о жизни Пифагора Самосского Историческая справка о теореме Пифагора Историческая справка о теореме Пифагора Работа над теоремой Работа над теоремой Решение задач с применением теоремы Решение задач с применением теоремы Подведение итога урока Подведение итога урока Домашнее задание Домашнее задание

Пифагор Самосский Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. В семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен.

Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры.Пифагор Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма– пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.Пифагор Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста». История теоремы Пифагора Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

Теорема В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: Δ ABC, С = 90° Доказать: Доказательство: D Рассматривая cos B, получаем: Складывая (1) и (2), получаем: Рассматривая cos B, получаем: Опустим из вершины прямого угла высоту СД

Теорема Пифагора. История возникновения и различные способы доказательства.

• Пифагор Самосский (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος ; 570 - 490 гг. до н. э.) - древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

• Родители – Мнесарх и Партенида с Самоса
• В 18-летнем возрасте отправился в путешествие в Египет, Вавилон
• Вернулся на родину в 56 лет
• В греческой колонии Кротоне в Южной Италии основал свою школу
• Был женат на своей ученице Феано, имел сына и дочь.

Пифогорейская школа.

Условия приёма в школу Пифагора:

• отказаться от личной собственности в пользу союза
• не проливать крови
• не употреблять мясной пищи
• беречь тайну учения своего учителя
• не обучать других за вознаграждение

• Умел разговаривать с птицами и животными
• Повелевал духами и делал предсказания
• Способен раздваиваться
• Исцелял людей
• Перевоплощённый бог Аполлон
• Имел золотое бедро

• Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить только в настоящем.
• Дружба есть равенство.
• Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные торговать, а самые счастливые - смотреть.
• Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

Музыка и Пифагор

• Пифагор и его последователи рассчитали т.н. пифагоров строй - математическое выражение интервалов между звуками гаммы (т.н. «лидийской» гаммы).

• Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

• В древнекитайской книге Чжоу би суань цзин говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

• Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э. , во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

• Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э. , приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.
• Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

• Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находитьпифагоровы тройки. Однако Прокл писал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы.
• Однако, когда авторы, такие как Плутарх иЦицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».

• По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы

Во времена Пифагора теорема звучала так:

• « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

• « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Формулировка теоремы

• «

Формулировка теоремы

• В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

• В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Формулировка теоремы

• « У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".»

• Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.) в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

Современная формулировка

« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Доказательства теоремы

Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c .

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b a и c .

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c .

Дано:

ABC -прямоугольный треугольник

Доказать:

S ABDE =S ACFG +S BCHI

Доказательство:

Пусть ABDE -квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC , а ACFG и BCHI -квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q ; соединим точки C и E , B и G .

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°) ; отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA ; они имеют общее основание AE и высоту AP , опущенную на это основание, следовательно

S PQEA = 2S ACE

Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S FCAG =2S GAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Дано: ABC -прямоугольный треугольник

Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2

Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С . 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB , отсюда следует

AB*AD=AC 2 .

3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB , значит

AB*BD=BC 2 .

4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC 2 +BC 2 = АВ *(AD + DB)

AB 2 =AC 2 +BC 2 . Что и требовалось доказать.

Дано: ABC -прямоугольный треугольник

Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC . Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD , равный отрезку AC , соединим точки B и E . 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

S ABED =2*AB*AC/2+BC 2 /2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

S ABED = (DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2

AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC

BC 2 =AB 2 +AC 2 .

• Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения

получаем

что эквивалентно

сложив получаем

Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Ход урока:

Здравствуйте, садитесь. Меня зовут Людмила Александровна, я рада всех Вас видеть (слайд 1).

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

Немецкий писатель-романист Шамиссо.

Эти слова посвящены одной из известнейших теорем математики. Теореме Пифагора (слайд 2).

Перед Вами портрет великого Пифагора (слайд 3). Он известен как древнегреческий философ и педагог. Пифагор - это прозвище, данное ему за красноречие («Пифагор» - значит «убеждающий речью»). Сам он ничего не писал, а все его мысли записывали ученики. Он был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности - её простота, красота и значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста и имеет огромное значение, потому что она применяется в различных областях, а тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о её широком применении. Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса», как получившая наибольшее число доказательств.

Тема нашего урока «Различные способы доказательства теоремы Пифагора».

Как вы считаете, чем мы с Вами будем заниматься на уроке?

(учащиеся формулируют цель урока).

Конечно же каждый из вас понимает, что за один урок невозможно рассмотреть 500 доказательств, но еще с двумя доказательствами теоремы, помимо рассмотренного вами ранее мы познакомимся.

Вы уже рассмотрели эту теорему, поэтому давайте повторим (слайд 4).

1. К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?

2. Как звучит теорема Пифагора?

3. Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6см и 8см?

4. Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5см, катет 3см. Найти длину второго катета?

Проводится обсуждение и проверка по ответам.

Учитель: Молодцы, мы с вами очень хорошо справились с заданием.

А знаете ли Вы, что доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиным мостом» или «бегством убогих», потому что некоторые слабые ученики бежали от геометрии. Они, не пытаясь понять доказательство, просто его зазубривали. Поэтому, возникали различные карикатуры, которые сопровождали доказательство теоремы (слайд 5).

Я думаю, что мы с Вами сможем преодолеть все трудности, и не будем спасаться бегством при рассмотрении доказательств этой теоремы.

Сейчас мы с Вами проведем небольшую лабораторную работу. (Откройте, пожалуйста, тетради, запишите число и классная работа).

(кто-то работает у доски).

Вам нужно (слайд 6):

Начертить в тетрадях прямоугольный треугольник со сторонами 3; 4 и 5 см;
Построить на катетах и гипотенузе квадраты;
Найти площади построенных квадратов.

Оказывается, что мы с Вами рассмотрели один из частных случаев доказательства теоремы Пифагора (слайд 7).

У каждого из Вас лежат листочки с таблицами, которые называются Пифагоровыми тройками (слайд 8).

Пифагоровы тройки

Эти числа обладают рядом интересных особенностей, познакомимся с ними: один из «катетов» должен быть кратным трём;

один из «катетов» должен быть равен четырём;

одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

С помощью предложенных таблиц решите следующие задачи (слайд 9).

«Всё есть число», «Числа правят миром» - изречения Пифагорам (слайд 10). Он считал, что через числа можно выразить все закономерности мира. Нужно отметить, что все Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры. Давайте немного отвлечемся и поговорим о числовой мистике.

Число 1 означало огонь,

4 - воздух,

Сумма этих чисел 10 - весь мир,

5 - любовь.

Проведем физкультминутку и получим заряд энергии от чисел.

Раз, два - встать пора,

Три, четыре - руки шире,

Пять, шесть - тихо сесть,

Семь, восемь - лень отбросим.

Энергией мы зарядились, а сейчас рассмотрим еще одно геометрическое доказательство теоремы (слайд 11). Изобразите пожалуйста чертеж в своих тетрадях.

Этот способ доказательства рассмотрел индийский математик Бхаскара. В пояснение к доказательству он написал только одну строчку: «Смотри!» Другие ученые предположили, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников и площади квадрата. Давайте, восстановим это доказательство. Кто желает выступить в роли учёного?

Получаем: c²=4ab/2+(a-b)²

c=2ab+a²-2ab+b²

Как вы считаете, доказали мы, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов?

Очень хорошо. Мы надеемся, что ты станешь великим математиком.

А теперь давайте решим ещё несколько задач (слайд 12).

Домашнее задание (слайд 13): Найти интересное, на ваш взгляд, доказательство теоремы Пифагора и красочно его оформить. Лучшими работами оформим стенд.

Скажите, пожалуйста, сколько всего существует доказательств теорем Пифагора?
А сколько доказательств теорем теперь знаете Вы?
Сформулируйте ещё раз теорему.

На следующих уроках вы рассмотрите практическое применение рассмотренной нами теоремы.

По окончанию урока я попрошу каждого из Вас подойти к доске и прикрепить карточку с одним из предложенных Вам чисел. «10»(целый мир), если урок понравился; «5»(любовь) - если, что-то не понравилось и «1»(огонь) - если урок не понравился.

(слайд 14). Благодарю Вас всех за урок, мне было очень приятно с вами сотрудничать.