F (закон Ньютона), но с Э. м. m*, отличной от массы m свободного эл-на. Это отличие отражает вз-ствие эл-на проводимости с решёткой. В простейшем случае Э. м. определяется соотношением:

Понятие Э. м. обобщают для др. типов возбуждений (фононов, фотонов, экситонов и др.). Если зависимость?(р) (дисперсии закон) анизотропна, то Э. м. представляет собой (тензор обратных эфф. масс)

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА

Величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамич. свойства квазичастиц. Напр., движение электрона проводимости в кристалле под действием внеш. силы F и сил со стороны кристаллич. решётки в ряде случаев может быть описано как движение свободного электрона, на к-рый действует только сила F (закон Ньютона), но с Э. м. т, отличной от массы т 0 свободного электрона. Это отличие отражает электрона проводимости с решёткой (см. Твёрдое тело, Зонная теория, Квазиклассическое ).

В простейшем случае изотропной зависимости энергии электрона от его квазиимпульса р Э. м.- скалярная величина, определяемая соотношением

Если зависимость ( р ) (дисперсии закон )анизотропна, то Э. м. представляет собой тензор. Компоненты тензора обратных Э. м.

Это означает, что ускорение электрона в кристаллич. решётке в общем случае направлено не параллельно внеш. силе F . Оно может быть направлено даже антипараллельно F , что соответствует отрицат. значению Э. м. Для электронов с отрицат. Э. м. оказалось удобным ввести в рассмотрение положительно заряженные квазичастицы- дырки с положительной Э. м.

При изучении гальваномагнитных явлений пользуются т. н. циклотронной Э. м. электронов и дырок:

где S- площадь сечения изоэнергетич. поверхности ( р ) = const плоскостью, перпендикулярной магн. полю Н.

Наиб. важные методы определения Э. м. электронов проводимости и дырок в металлах и полупроводниках - циклотронный , измерение электронной теплоёмкости и др.

Из-за электрон-фононного взаимодействия Э. м. электронов, движущихся в ионов кристаллич. решётки, перенормируется, причём макс. перенормировку претерпевает Э. м. электронов на (и вблизи) фермы-поверхности; у электронов с энергией (w D -дебаевская частота) Э. м. практически не перенормируется. Благодаря этому в ф-лы, описывающие термодинамич. и кинетич. свойства металлов при низких темп-pax (kT<< ), входит перенормированная Э. м., а в ф-лы, описывающие свойства металла при kT>> , а также оптич. свойства для частот w>>w D ,- неперенормированная Э. м.

Понятие Э. м. обобщают для др. типов квазичастиц ( фононов, фотонов, экситонов и др.). В теории квантовой жидкости для квазичастиц - фермионов с изотропным законом дисперсии Э. м. наз. отношение m=p 0 / u 0 , где р 0 и u 0 - абс. значения импульса и скорости квазичастиц при абс. нуле темп-ры, соответствующие ферми-энергии. Э. м. атома жидкого 3 Не равна 3,08 m 0 , где т 0 - масса свободного атома 3 Не (см. Гелий жидкий).

Лит. см. при ст. Квазичастица. М. И. Каганов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА" в других словарях:

Эффективная масса - произведение эффективной длины образца на площадь его поперечного сечения и плотность материала. Источник: ГОСТ 12119.0 98: Сталь электротехническая. Методы определения магнитных и электрических свойств. Общие требования … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

эффективная масса - носителя заряда; эффективная масса Величина, имеющая размерность массы и характеризующая движение носителя заряда в полупроводнике под действием электромагнитного поля, так же как масса свободного электрона, характеризует его движение … Политехнический терминологический толковый словарь

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Напр., движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной массой,… … Большой Энциклопедический словарь

В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так … Википедия

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Например, движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной… … Энциклопедический словарь

эффективная масса - efektyvioji masė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. effective mass vok. effektive Masse, f; wirksame Masse, f rus. эффективная масса, f pranc. masse effective, f … Fizikos terminų žodynas

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц (См. Квазичастицы). Например, движение электрона проводимости (См. Электрон проводимости) в кристалле под действием внешней силы F и сил со стороны… … Большая советская энциклопедия

Носителей тока хар ка электронов проводимости и дырок в зонной теории твёрдого тела, используемая для описания действия на них внеш. электромагнитного поля. На носители тока, помимо внеш. поля, действует также внутр. периодич. поле кристалла.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамич. свойства квазичастиц. Напр., движение электронов проводимости в кристалле под действием внеш. силы может быть описано как движение свободного электрона, но с Э. м., отличной от массы… … Естествознание. Энциклопедический словарь

эффективная масса носителя заряда полупроводника - эффективная масса носителя заряда Величина, имеющая размерность массы и характеризующая движение носителя заряда в полупроводнике под действием внешнего электромагнитного поля. [ГОСТ 22622 77] Тематики материалы полупроводниковые Синонимы… … Справочник технического переводчика

Книги

• Как привести дела в порядок. Искусство продуктивности без стресса , Аллен Дэвид. О книге О том, как стать хозяином своей жизни - по крайней мере на работе. Эта методика - результат двадцатилетней работы автора. Среди российских менеджеров она стала мегапопулярной еще до…

В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона me (9.11×10−31 кг). Она отлична от массы покоя электрона. Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом полеE: де a - ускорение, - постоянная Планка, k - волновой вектор, который определяется из импульса как k =, ε(k) - закон дисперсии, который связывает энергию с волновым вектором k. В присутствии электрического поля на электрон действует сила, где заряд обозначен q. Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m * :

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае только в экстремумах кривой закона дисперсии, там где можно аппроксимировать параболой можно использовать понятие массы. Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором. Те́нзор эффекти́вной ма́ссы - термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса. По определению эффективную массу находят из закона дисперсии Где- волновой вектор,- символ Кронекера,- постоянная Планка. Электрон. Электро́н - стабильная, отрицательно заряженная элементарная частица, одна из основных структурных единиц вещества. Является фермионом (т.е. имеет полуцелый спин). Относится к лептонам (единственная стабильная частица среди заряженных лептонов). Из электронов состоят электронные оболочки атомов, где их число и положение определяет почти все химические свойства веществ. Движение свободных электронов обусловливает такие явления, как электрический ток в проводниках и вакууме. Электрон как квазичастица. Если электрон находится в периодическом потенциале, его движение рассматривается как движение квазичастицы. Его состояния описываются квазиволновым вектором. Основной динамической характеристикой в случае квадратичного закона дисперсии является эффективная масса, которая может значительно отличаться от массы свободного электрона и в общем случае является тензором. Свойства Заряд электрона неделим и равен −1,602176487(40)×10−19 Клкг - масса электрона.Кл - заряд электрона.Кл/кг - удельный заряд электрона.спин электрона в единицахСогласно современным представлениям физики элементарных частиц, электрон неделим и бесструктурен (как минимум до расстояний 10−17 см). Электрон участвует в слабом, электромагнитном и гравитационном взаимодействиях. Он принадлежит к группе лептонов и является (вместе со своей античастицей, позитроном) легчайшим из заряженных лептонов. До открытия массы нейтрино электрон считался наиболее лёгкой из массивных частиц - его масса примерно в 1836 раз меньше массы протона. Спин электрона равен 1/2, и, таким образом, электрон относится к фермионам. Как и любая заряженная частица со спином, электрон обладает магнитным моментом, причем магнитный момент делится на нормальную часть и аномальный магнитный момент. Иногда к электронам относят как собственно электроны, так и позитроны (например, рассматривая их как общее электрон-позитронное поле, решение уравнения Дирака). В этом случае отрицательно заряженный электрон называют негатроном, положительно заряженный - позитроном. Находясь в периодическом потенциале кристалла, электрон рассматривается как квазичастица, эффективная масса которой может значительно отличаться от массы электрона. Свободный электрон не может поглотить фотон, хотя и может рассеять его (см. эффект Комптона). Дырка. Ды́рка - квазичастица, носитель положительного заряда, равного элементарному заряду в полупроводниках. Определение по ГОСТ 22622-77: Незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, численно равный заряду электрона. Понятие дырки вводится в зонной теории для описания электронных явлений в не полностью заполненной электронами валентной зоне. В электронном спектре валентной зоны часто возникает несколько зон, различающихся величиной эффективной массы и энергетическим положением (зоны легких и тяжёлых дырок, зона спин-орбитально отщепленных дырок).

). Эффективная масса электрона в кристалле, вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ МАССА [Новости науки и технологий]

Электрические газонокосилки из Германии -Wolf Garten

Самый полезный товар!!! Инвертор Дніпро-М САБ-260ДПА

FAQ: Как выбрать печь, длительного горения, для отопления помещения от 100 до 150 кубов?

Субтитры

Сегодня в выпуске: учёные разработали прибор, извлекающий воду из сухого воздуха, а физики из США создали вещество с отрицательной эффективной массой. Всем вечного здравия! С вами Александр Смирнов, Правильная Правда и Новости науки и технологий. Проблема доступа к воде становится все более острой для Земли - по оценкам ООН, к 2025 году она коснется более 14% жителей нашей планеты. На сегодняшний день существуют множество методов опреснения морской воды, но эти технологии имеют два главных недостатка – они или очень дороги и энергозатратны, или же системы очистки быстро засоряются и приходят в негодность. Таким образом, данная технология становится экономически нецелесообразной. Что же делать? Американские ученые из Массачусетского технологического института и Калифорнийского университета в Беркли придумали устройство, которое может добывать воду прямо из воздуха. Прототип, созданный учеными, работает даже в условиях пустыни и в конечном итоге может обеспечить домашние хозяйства чистой питьевой водой, в которой они так нуждаются - путем извлечения влаги из окружающей атмосферы. Нельзя выжать сок из камня, а вот добыть воду из пустынного неба вполне возможно, и все благодаря новому устройству, которое использует солнечный свет для всасывания водного пара из воздуха даже при низкой влажности. Прибор назвали солнечным хАрвестером (solar-powered harvester). Он работает на солнечных батареях. Устройство может давать воду при относительной влажности воздуха в 20%. При создании устройства были использованы металлорганические соединения (МОС). Они представляют собой сложные полимерные материалы, похожие по структуре на пчелиные соты и обладающие очень высокой пористостью и прочностью. Сегодня они используются для создания фильтров, способных улавливать углекислоту или водород и удерживать в себе огромные количества этих газов. В случае с данным хАрвестером применялись МОС с цирконием и адипиновой кислотой, которая связывала водяной шар. Эта структура была измельчена до состояния пыли. Работает он крайне примитивно – "песок" из частиц МОК поглощает воду из воздуха, а свет и тепло Солнца, направляемые на него системой зеркал, заставляют пары воды покинуть их и сконденсироваться в сосуде, подключенном к этому опреснителю. Решетчатая структура полимера захватывает молекулы водяного пара, содержащиеся в воздухе, а солнечный свет, проникающий через окошко, нагревает МОК и направляет связанную с ним влагу к конденсатору, имеющему температуру наружного воздуха. Именно он окончательно превращает пар в жидкую воду, которая капает в коллектор. Подобное устройство, содержащее в себе килограмм МОК, может вырабатывать около трех литров воды за полдня даже из достаточно сухого воздуха с 20-30% влажности. В принципе, этого хватает для того, чтобы обеспечить человека необходимым количеством питьевой воды на сутки. Стоит отметить, что установке еще есть куда расти. Во-первых, цирконий стоит 150 долларов за килограмм, что делает устройства для сбора воды слишком дорогими, чтобы его можно было массово производить и продавать за скромную сумму. Впрочем, ученые утверждают, что уже успешно спроектировали водосборный аппарат, в котором цирконий заменен в 100 раз более дешевым алюминием. Это может сделать будущие водосборщики пригодными не только для утоления жажды людей в засушливых районах, но, возможно, даже для снабжения водой фермеров в пустыне. Эта работа предлагает новый способ сбора воды из воздуха, которому не требуется высокая относительная влажность, и он гораздо более энергоэффективен, чем другие существующие технологии. Команда ученых планирует улучшить харвестер, чтобы он мог всасывать гораздо больше воздуха и производить больше воды. Созданный ими прототип поглощает воду лишь на 20% составляющую его собственный вес, однако теоретически этот показатель можно повысить до 40%. Также физики собираются сделать прибор более эффективным в условиях повышенной и пониженной влажности. Ученые хотели продемонстрировать, что если человек застрянет где-то в пустыне, то сможет выжить с помощью этого устройства. Человеку требуется около банки из-под колы воды в день. С помощью этой системы её можно собрать менее чем за час. Получать воду из воздуха также можно с помощью ветряных турбин и наземных фильтрующих установок. Но в отличие от разработки американских ученых, эти системы вырабатывают воду за счет образования конденсата, поэтому они малоэффективны в условиях засушливого климата. Отличное дело. Если удастся довести до промышленного производства, то это позволит решить проблему питьевой воды не только в засушливых местах на Земле, но даже на Марсе, конечно, если она сохранилась в ошметках его атмосферы. Но сам по себе прибор отличный, который фактически делает из воздуха и воду, и деньги. А если установить вечером в пятницу в каком-нибудь баре, то можно собрать коктейль. Еще бы такое устройство еду добывать научилось… В любом случае, поздравляем ученых и ждем когда завезут на Алиекспресс. Представьте себе некий предмет – ручку, телефон, ластик. Теперь мысленно надавите на него пальцем. Если вы давите достаточно сильно, то предмет сдвинется с места по направлению приложенного давления. В соответствии с физикой Ньютона ускорение тела по направлению совпадает с приложенной к нему силой и обратно пропорционально массе. Однако в микромире этот закон не всегда действует. Учёные из Вашингтонского государственного университета объявили, что сумели создать вещество с отрицательной массой. В теоретической физике, отрицательная масса - это концепция о гипотетическом веществе, масса которого имеет противоположное значение массе нормального вещества (также как электрический заряд бывает положительный и отрицательный). Например, −2 кг. Такое вещество, если бы оно существовало, нарушало бы одно или несколько энергетических условий и проявляло бы некоторые странные свойства. По некоторым спекулятивным теориям, вещество с отрицательной массой можно использовать для создания червоточин (кротовых нор) в пространстве-времени. Звучит как абсолютная фантастика, но сейчас группе физиков из Университета штата Вашингтон, Вашингтонского университета, Университета OIST (Окинава, Япония) и Шанхайского университета удалось получить вещество, которое проявляет некоторые свойства гипотетического материала с отрицательной массой. Например, если толкнуть это вещество, то оно ускорится не в направлении приложения силы, а в обратном направлении. То есть оно ускоряется в обратную сторону. Для создания вещества со свойствами отрицательной массы учёные подготовили конденсат Бозе - Эйнштейна. В этом состоянии частицы двигаются исключительно медленно, а квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. То есть в соответствии с принципами квантовой механики частицы начинают вести себя как волны. Например, они синхронизируются между собой и протекают через капилляры без трения, то есть не теряя энергии - эффект так называемой сверхтекучести. В нашем случае экспериментаторы поместили полученный конденсат в удерживающее его поле. Частицы замедлили лазером и дождались, когда наиболее энергичные из них покинули объём, что ещё больше охладило материал. В «чашечке» диаметром около 100 микрон микрокапелька вела себя как обычное вещество с положительной массой. При нарушении герметичности сосуда атомы рубидия разлетелись бы в разные стороны, поскольку центральные атомы выталкивали бы крайние атомы наружу, а те ускорялись бы в направлении приложения силы. Для создания отрицательной эффективной массы физики применили другой набор лазеров, который изменял спин части атомов, при этом частицы конденсата, преодолев энергетический барьер, покинули «чашку» в обратном направлении. Таким образом физикам удалось математически выполнить условие второго закона Ньютона – тело, на которое действует сила, приобретает ускорение в направлении навстречу этой силе, а не в противоположную сторону, как обычно, т. е. ведет себя так, как будто мы имеем дело с отрицательной массой. Правда, сам этот закон в квантовом мире не действует, да и участники эксперимента в своей статье в пишут об отрицательной эффективной массе, что не совсем то же самое. Тем не менее, поставленный опыт и его результаты дают почву для размышлений о мироздании и материи в нем. Физические теории не видят ничего невозможного в существовании отрицательных масс и даже пытаются с их помощью объяснить некоторые аспекты видимого мира, в частности события, происходящие в недрах черных дыр или нейтронных звезд. Вообще, в голове с трудом укладывается даже определение отрицательной массы. Наверное, потому что речь идет про эффективную массу - фактически, виртуальный параметр. Сами по себе частицы обычные, но ученые создали условия, в которых эти частицы стали частицами с отрицательной массой. Как кредит с отрицательной ставкой. Депозит называется. А ещё есть социальная отрицательная масса. Если тебе холодно и ты хочешь обнимашек, тебя посылают в обратную сторону. Тем не менее, надеюсь, что данной исследование приблизит учёных к созданию гравицапы. Всем спасибо за просмотр! С вами был Александр Смирнов, Правильная Правда и Новости науки и технологий. Не забывайте ставить Любо данному синематографу, подписываться на канал, а также делиться видео с друзьями. Лехаим, бояре!

Определение

Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона F → = m a → . {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}.} С помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом поле E → {\displaystyle {\vec {E}}}

где a → {\displaystyle {\vec {a}}} - ускорение, q - заряд частицы, ℏ {\displaystyle \hbar } - редуцированная постоянная Планка , - волновой вектор , который определяется из импульса как k → = p → / ℏ , {\displaystyle {\vec {k}}={\vec {p}}/\hbar ,} энергия частицы ε (k) {\displaystyle \varepsilon (k)} связана с волновым вектором k {\displaystyle k} законом дисперсии . В присутствии электрического поля на электрон действует сила F → = q E → . {\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}.} . Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m ∗ : {\displaystyle m^{*}:}

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае использовать понятие массы можно только вблизи экстремумов кривой закона дисперсии, где эта функция может быть аппроксимирована параболой и, следовательно, эффективная масса не зависит от энергии.

Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором.

Те́нзор эффекти́вной ма́ссы - термин физики твёрдого тела , характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона , дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя , а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии , иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса .

По определению эффективную массу находят из закона дисперсии ε = ε (k →) {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon ({\vec {k}})}

где k → {\displaystyle {\vec {k}}} - волновой вектор , δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} - символ Кронекера , ℏ {\displaystyle \hbar } - постоянная Планка .

Эффективная масса для некоторых полупроводников

В нижеприведённой таблице указана эффективная масса электронов и дырок для полупроводников - простых веществ IV группы и бинарных соединений

Рассмотрим движение электрона под действием внешнего электрического поля. Предположим сначала, что мы имеем дело со свободным электроном, помещенным в однородное электрическое поле . Со стороны поля на электрон действует сила
. Под действием этой силы он приобретает ускорение

Здесь m – масса электрона. Вектор ускорения направлен против поля .

Теперь получим уравнение движения электрона, находящегося в периодическом поле кристалла. Внешнее поле действует на электрон в кристалле также, как на свободный электрон, с силой
, направленной против поля. В случае свободного электрона силабыла единственной силой, определяющей характер движения частицы. На электрон же, находящийся в кристалле, кроме силы
действуют значительные внутренние силы, создаваемые периодическим полем решетки. Поэтому движение этого электрона является более сложным, чем движение свободного электрона.

Движение электрона в кристалле можно описать с помощью волнового пакета, составленного из блоховских функций. Средняя скорость движения электрона равна групповой скорости волнового пакета:
. Учитывая, что
для групповой скорости получаем

(1.1.19)

где
- квазиимпульс. Видим, что средняя скорость электрона в твердом теле определяется законом дисперсииE (). Продифференцируем (1.1.19) по времени:

(1.1.20)

За время электрическое полесовершит работу
, которая идет на приращение энергии электрона:
. Учитывая, что
получаем
, или

(1.1. 21)

Последнее выражение представляет собой уравнение движения электрона в кристалле. В этом случае произведение (dk/dt ) равно силе , действующей на электрон со стороны внешнего электрического поля. Для свободного электрона внешняя сила равна произведению
. Toт факт, что для электрона в кристалле уравнение движения не имеет привычной формы второго закона Ньютона, не означает, что закон Ньютона здесь не выполняется. Все дело в том, что уравнение движения мы записали только с учетом внешних сил, действующих на электрон, и не учли силы, действующие со стороны периодического поля кристалла. Поэтому уравнение движения не имеет обычного вида
.

Подставим теперь dk/dt , найденное из (1.1.21), в выражение для ускорения (4.20):

(1.1.22)

Уравнение (1.1.22) связывает ускорение электронас внешней си­лой - е. Если предположить, что величина 2 (d 2 E / dk 2 ) имеет смысл массы, то (1.1.22) приобретает вид второго закона Ньютона:
где
-эффективная масса электрона. Она отражает влияние периодического потенциала решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. Электрон в периодическом поле кристаллической решетки движется под действием внешней силы в среднем так, как двигался бы свободный электрон под действием этой силы, если бы он обладал массой m *. Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы m приписать эффективную массу m *, то его можно считать свободным и движение этого электрона описывать так, как описывается движение свободного электрона, помещенного во внешнем поле. Разница между m * и m обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем решетки, и, приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие.

Пользуясь понятием эффективной массы, задачу о движении электрона в периодическом поле решетки
можно свести к задаче о движении свободного электрона с массой m *. Это значит, что вместо уравнения Шредингера с периодическим потенциалом

нужно решать уравнение
. Если, например, энергия является квадратичной функцией от , то её можно записать так

(1.1.23)

(как для свободного электрона).

Легко видеть, что для свободного электрона эффективная масса равна его обычной массе. В этом случае связь между Е и

,

откуда получаем
.

В общем случае эффективная масса является анизотропной величиной и для разных направлений волнового вектора различна. Она представляет собой тензор второго ранга

.

Эффективная масса в отличие от обычной массы не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она является лишь коэффициентом в уравнении движения и отражает меру взаимодействия электрона с кристаллической решеткой. Эффективная масса может быть как больше, так и меньше обычной массы электрона. Более того, m * может быть и отрицательной величиной. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример.

Пусть зависимость E () в одной из зон имеет вид, показанный на рис.1.1.9,а). Минимум энергии соответствует центру зоны Бриллюэна (k =0), а максимумы - ее границам (k =±
/а ). Часто зоны с такой зависимостью Е () называют стандартными . Эффективная масса определяется кривизной кривой Е (). Вблизи значений k , соответствующих экстремумам функции E (), закон дисперсии можно представить параболической зависимостью, аналогичной зависимости Е () для свободного электрона. Покажем это. Если экстремум достигается в точке
, то разложивE (k ) в ряд по степеням
), получим

Учитывая, что в точке экстремума =0 и опуская ввиду малости члены с множителем
, гдеп> 2, получаем

Если отсчет энергии вести от экстремального значения, то для центра зоны Бриллюэна (=0) получаем соотношение (1.1.23), которое совпадает с законом дисперсии для свободного электрона с той лишь разницей, что m заменено на m *. Дифференцируя E (k ) по k , находим зависимости,

и

изображенные на рис.1.1.9,6, в).

Видно, что эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны, положительна и близка к массе свободного электрона. В середине зоны, там, где наблюдается перегиб кривой E (k ), эффективная масса становится неопределенной. У потолка зоны электроны обладают отрицательной эффективной массой.

Отрицательная эффективная масса означает, что ускорение электрона направлено против действия внешней силы. Это видно из рис.1.1. 9,б). При k , близких к границе зоны Бриллюэна, несмотря на увеличение k , скорость электрона уменьшается. Данный результат является следствием брэгговского отражения. В точке k =
электрон описывается уже не бегущей, а стоячей волной и
.

Поскольку свойства электронов с отрицательной эффективной массой очень сильно отличаются от свойств «нормальных» электронов, их удобнее описывать, пользуясь представлением о некоторых квазичастицах, имеющих заряд +е , но положительную эффективную массу. Такая квазичастица получила название дырки. Предположим, что в зоне все состояния, кроме одного, заняты электронами. Вакантное состояние вблизи потолка зоны и называют дыркой. Если внешнее поле равно нулю, дырка занимает самое верхнее состояние. Под действием поля на это вакантное состояние перейдет электрон с более низкого энергетического уровня. Дырка при этом опустится. Далее дырочное состояние займет следующий электрон и т. д. При этом дырка сместится вниз по шкале энергий. Таким образом, ток в кристаллах может переноситься не только электронами в зоне проводимости, но и дырками в валентной зоне. Дырочная проводимость наиболее характерна для полупроводников. Однако есть и некоторые металлы, которые обладают дырочной проводимостью.

Возвращаясь к рис.1.1.9,в отметим, что описывать движение электронов в кристалле, пользуясь понятием эффективной массы, можно только тогда, когда они находятся либо у дна, либо у потолка энергетической зоны. В центре зоны m * теряет смысл. На практике почти всегда приходится иметь дело с электронами, располагающимися или у дна, или у потолка зоны. Поэтому использование эффективной массы в этих случаях вполне оправдано.

Особенности движения электронов в кристалле обусловлены их взаимодействием с кристаллической решеткой. Оказывается, что движение отдельного электрона в кристалле можно описывать тем же уравнением, что и для свободной частицы, т.е. в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы.

Рассмотрим движение электрона в кристалле под действием внешнего электрического поля. Внешнее электрическое поле приводит к увеличению скорости электрона и, следовательно, его энергии. Поскольку электрон в кристалле - это микрочастица, описываемая волновой функцией, то энергия электрона зависит от его волнового вектора. Зависимость между этими двумя характеристиками электрона в кристалле определяется дисперсионным соотношением, которое в свою очередь зависит от строения энергетических зон. Поэтому при расчете движения электрона в кристалле необходимо исходить из закона дисперсии.

Свободный электрон описывается монохроматической волной де Бройля и электрон в этом состоянии нигде не локализован. В кристалле же электрону необходимо сопоставить группу волн де Бройля с различными значениями частот и волновых векторов k . Центр такой группы волн перемещается в пространстве с групповой скоростью

Эта групповая скорость соответствует скорости перемещения электрона в кристалле.

Задачу о движении электрона будем решать для одномерного случая. Увеличение энергии электрона dE под действием внешней силы F равно элементарной работе dA , которую совершает внешняя сила за бесконечно малый промежуток времени dt :

Учитывая, что для электрона как микрочастицы , имеем следующее выражение для групповой скорости

Подставляя полученное выражение для групповой скорости в формулу (2.16), получим

Распространяя этот результат на трехмерный случай, получим векторное равенство

Как видно из этого равенства, величина ћ k для электрона в кристалле изменяется со временем под действием внешней силы точно так же, как импульс частицы в классической механике Несмотря на это, ћ k нельзя отождествить с импульсом электрона в кристалле, поскольку компоненты вектора k определены с точностью до постоянных слагаемых вида (здесь a - параметр кристаллической решетки, n i =1, 2, 3, ...). Однако в пределах первой зоны Бриллюэна ћ k обладает всемисвойствами импульса. По этой причине величину ћ k называют квазиимпульсом электрона в кристалле.

Вычислим теперь ускорение a , приобретаемое электроном под действием внешней силы F . Ограничимся, как и в предыдущем случае, одномерной задачей. Тогда

При вычислении ускорения учтено, что энергия электрона является функцией времени . Учитывая, что , получим

(2.18)

Сравнивая выражение (2.18) со вторым законом Ньютона, видим, что электрон

в кристалле движется под действием внешней силы так, как двигался бы под действием той же силы свободный электрон, если бы он обладал массой

(2.19)

Величину m * называют эффективной массой электрона в кристалле .

Строго говоря, эффективная масса электрона никакого отношения к массе свободного электрона не имеет. Она является характеристикой системы электронов в кристалле в целом . Вводя понятие эффективной массы, мы реальному электрону в кристалле, связанному взаимодействиями с кристаллической решеткой и другими электронами, сопоставили некую новую свободную “микрочастицу”, обладающую лишь двумя физическими параметрами реального электрона - его зарядом и спином. Все остальные параметры - квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия и т.д. - определяются свойствами кристаллической решетки. Такую частицу часто называют квазиэлектроном, электроном-квазичастицей, носителем отрицательного заряда или носителем заряда n-типа , чтобы подчеркнуть ее отличие от реального электрона.

Особенности эффективной массы электрона связаны с видом дисперсионного соотношения электрона в кристалле (рис.2.10). Для электронов, располагающихся у дна энергетической зоны, дисперсионное соотношение можно приблизительно описать параболическим законом

Вторая производная , следовательно, эффективная масса положительная. Такие электроны ведут себя во внешнем электрическом поле подобно свободным электронам: они ускоряются под действием внешнего электрического поля. Отличие таких электронов от свободных состоит в том, что их эффективная масса может существенно отличаться от массы свободного электрона. Для многих металлов, в которых концентрация электронов в частично заполненной зоне мала и они располагаются вблизи ее дна, электроны проводимости ведут себя подобным образом. Если к тому же эти электроны слабо связаны с кристаллом, то их эффективная масса незначительно отличается от массы покоя реального электрона.

Для электронов, находящихся у вершины энергетической зоны (рис.2.10), дисперсионное соотношение можно приблизительно описать параболой вида

и эффективная масса является величиной отрицательной. Такое поведение эффективной массы электрона объясняется тем, что он при своем движении в кристалле обладает не только кинетической энергией поступательного движения Е к , но и потенциальной энергией его взаимодействия с кристаллической решеткой U . Поэтому часть работы A внешней силы может перейти в кинетическую энергию и изменить ее на величину E к , другая часть - в потенциальную U .