В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .

Пример 4.

Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Инструкция

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

Шаг 1. Введите заданный пример, состоящий из дробей.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить”.

Шаг 3. Получите подробный результат.

Чтобы калькулятор посчитал дроби правильно, вводите дробь через знак: “/”. Например: . Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.

Что такое уравнение с дробями

Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Линейные уравнения с дробями решается по стандартной схеме: неизвестные переносятся в одну сторону, а известные – в другую.

Рассмотрим на примере:

Дроби с неизвестными переносятся влево, а остальные дроби – вправо. Когда переносятся числа за знак равенства, тогда у чисел знак меняется на противоположный:

Теперь нужно выполнить только действия обеих частей равенства:

Получилось обыкновенное линейное уравнение. Теперь нужно поделить левую и правую части на коэффициент при переменной.

Решить уравнение с дробями онлайн обновлено: Октябрь 7, 2018 автором: Научные Статьи.Ру