Гамирова Г. Самитова А.
Доказать гипотезу: Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры.
Скачать:
Предварительный просмотр:
МБОУ «Бик-Утеевская основная общеобразовательная школа Буинского района РТ»
Проектно-исследовательская работа:
«Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры? Или как построить дом?»
Паджом видит, как солнце касается земли, и постепенно начинает исчезать. Паджом делает больше усилий, вздыхает, поднимается на холм. Его ноги согнуты, и он падает на землю; с его потными руками, касается его шапки. Какой мальчик! - закричал босс: - Сколько земли выиграло! Проблема: Давайте отбросим печальный конец этой истории, и мы рассмотрим геометрическую часть этой истории. Можем ли мы найти данные, разбросанные по всему тексту, сколько десятины земли Пайом гастролировали? Задача, на первый взгляд, кажется неубедительной; однако он разрешен довольно просто.
Гамирова Гульгена
Самитова Алина
Руководитель: учитель математики
Салаватуллина Фарида Фидаиловна
2013 год
Введение
Мы очень часто говорим о практическом применении математических знаний в жизни человека. Я считаю, что знания, полученные при изучении математики, должны быть приближены к реальной жизни, чтобы мы знали, зачем необходимы те или иные знания, для решения каких жизненно важных проблем они могут быть полезны.
Решение Мы читаем историю, снова обращая пристальное внимание на детали, и получаем геометрические данные; мы легко понимаем, что полученных данных достаточно, чтобы ответить на вопрос. Мы можем нарисовать плоскость земли, пройденной Паджом. Во-первых, ясно, что Паджом шел по сторонам прямоугольника.
Тогда первая сторона прямоугольника имела длину около 10 верст. На второй стороне, под прямым углом к первой стороне, ничего не сказано. Конечно, четвертая часть прямоугольника известна: «И к отправной точке у вас осталось 15 верст.». С помощью этих данных мы можем нарисовать плоскость местности, пройденную Паджом.
С древности необходимость заставила человека измерять не только длин, расстояние, но и площадь. В обычной жизни площадью мы называем большое, открытое пространство на улице, покрытое асфальтом. Но оказывается, что площадь можно найти и у крышки стола, и у тетради, и у учебника, и у пола в классе, и у земельного участка.
Для измерения площади у русского народа были свои особые мерки: копна, выть, соха, обжа, коробья, веревка, жеребья. Сейчас мы не используем этих мер площади. От древних землемеров нам досталось только само слово «площадь».
Тогда вторая сторона имеет длину в 13 верст. Очевидно, Паджом ошибся, сделав вторую сторону короче первой. Как мы видим, при рисовании плоскости этого ландшафта мы видим фактический маршрут, сделанный Паджом. Можно смело сказать, что у Толстого была перед ним иллюстрация, подобная той, что показана на рисунке 174, когда он писал эту историю.
Расчет по формуле трапеции дает нам тот же результат. Мы находим, что Паджом совершил поездку по обширной земле площадью 78 квадратных верст, около 1000 десятин. Десятина была эквивалентна 12 копеек. Его главная цель состояла в том, чтобы ходить по сторонам прямоугольника; трапеция вышла из-за плохого расчета. Любопытно: он победил или проиграл, когда его местность оказалась трапецией? В каком случае он мог бы получить как можно больше земли?
С понятием площади и периметра мы знакомы с начальных классов. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Однажды на уроке математики учительница предложила нам решить задачу Льва Толстого « Как Пахом покупал землю»: Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км. Решив задачу, мы поняли, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Решение. Многие прямоугольники могут быть сформированы с периметром 40 верст, каждый с другой областью. Вот несколько примеров. Поэтому мы не можем дать конкретного ответа на эту проблему. Есть прямоугольники с большей площадью поверхности, чем трапеция, но есть также меньшая поверхность, чем трапеция, все с одним и тем же периметром. Хотя мы можем дать точный ответ на вопрос: какая из прямоугольных фигур с одним и тем же периметром будет иметь наибольшую поверхность? Заметим, что, сравнивая наши прямоугольники, чем меньше разность сторон, тем больше поверхность прямоугольника.
Какие свойства у периметра и площади фигур? Как связаны периметры и площади? Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре? А может быть, Пахому выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной, а какой-нибудь другой формы? Оказывается на самом деле окружность из всех замкнутых фигур данной длины (или периметра) ограничивает наибольшую площадь. Каков периметр окружности, и как его вычислить, у нее нет сторон?
Сделан вывод, что когда нет разницы, т.е. когда прямоугольник становится квадратным, поверхность достигает своего максимального значения. Легко видеть, что квадрат фактически имеет большую поверхность, чем любой прямоугольник равного периметра. Паджому пришлось ходить по сторонам площади, чтобы получить максимально возможную площадь поверхности, то есть на 22 квадратных верста больше, чем он достиг.
Превосходное квадратное свойство Это свойство относится к квадрату, охватывающему наибольшую возможную площадь поверхности по сравнению с другими прямоугольниками равного периметра. Мы сделаем конкретную демонстрацию этого имущества. Другими словами, мы покажем, что поверхность квадрата. Больше поверхности прямоугольника.
Эти вопросы толкнули меня на исследовательскую работу. Я решила исследовать, как можно использовать свойства площади и периметра при строительстве дома.
Идеи моей исследовательской работы, возможно, помогут нам в дальнейшей самостоятельной жизни.
Гипотеза: Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. Из всех замкнутых фигур данной длины окружность ограничивает наибольшую площадь.
Как правильный член этого неравенства. Неравенство становится. Последнее неравенство очевидно: квадрат любой величины, отрицательный или положительный, больше этого. Поэтому предположение, сделанное в начале, является правильным, и оно привело нас сюда. То есть, квадрат имеет самую большую поверхность всех прямоугольников с одним и тем же периметром. Более того, из всех прямоугольных фигур с равной площадью квадрат имеет наименьший периметр. Мы можем проверить это по следующим соображениям. Что же мы имеем тогда?
Естественно, это невозможно: поскольку сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то его поверхность должно быть меньше. Другими словами, из всех прямоугольников с равной площадью наименьший периметр является квадратом. Если бы Паджом знал, что это свойство площади оказало бы большую помощь, чтобы было возможность вычислить его силы и получить прямоугольную местность с большей возможной поверхностью. Зная, что он может ходить весь день, без каких-либо усилий, скажем, около 36 верст, он мог бы ходить по сторонам площади в 9 верст на боку, а на закате ему принадлежит сюжет 81 квадратных верст, - 3 версты больше, чем он достиг с плохим концом.
Цель исследования: Составить проект дома большей площади при наименьших затратах строительного материала.
Задачи:
- Изучить типы жилья у различных народностей;
- Опросить своих сверстников и предложить сделать каждому необходимые измерения в своем доме, вычислить периметр и площадь их дома;
- Провести математическое исследование получения большей площади дома, не изменяя его периметра.
- Найти проект дома, в котором мы хотели бы жить, и спроектировать его так, чтобы он был по площади больше, а расход материала оставался прежним.
I часть.
Земля для другого пути. Возможно, для Паджома было бы выгоднее получить ландшафт иначе, чем прямоугольник, возможно треугольный, пятиугольный, квадратный и т.д. этот вопрос изучается в свете математики; но по определенным причинам мы не будем вдаваться в подробности, мы только покажем результаты. Во-первых, мы можем показать, что из всех четырехугольников равного периметра квадрат будет охватывать максимальную поверхность. Поэтому, если Паджому захотелось иметь рельеф в виде четырехугольника, без использования какого-либо искусства, он не смог бы достичь более 100 квадратных верст.
Дом - жилище, построенное человеком. Даже животные, насекомые и птицы строят свои дома. У любого жителя и обитателя уголка Земли есть свой дом или домик, свое жилище, своя крепость.
Но дом - это не только то место, где человек ночует или где он жил с детства. Люди пришли к пониманию дома, крова, жилища. Места, где человек чувствует себя в безопасности, защищенным от внешней среды, где он может отдохнуть и набраться сил. Есть такое выражение: «чувствовать себя как дома», то есть «в своей тарелке», уверенно, без страха и волнений.
Издревле считалось важным иметь свой дом, быть хозяином, высоко ценилось умение вести хозяйство, «держать дом» и содержать дом.
Можно сказать, что дом - это пространство, организованное особым образом. Каждый человек, осознанно или бессознательно, организует пространство своего бытия, и во многом от того, как он это делает, и складывается его жизнь.
Во-вторых: мы можем показать, что квадрат имеет большую поверхность, чем любой треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник с одним и тем же периметром имеет каждую сторону. Он имеет площадь. То есть меньше поверхности, чем трапеция, пересекавшая Паджом. Позже показано, что из всех треугольников с равным периметром равносторонний треугольник имеет наибольшую поверхность. В дополнение к этому треугольник максимальной поверхности вмещает площадь, меньшую площади, которая охватывает квадрат, тогда все треугольники с одинаковым квадратом периметра имеют меньшую поверхность, чем эта.
Но человек живёт повсюду – на снежном севере, и на знойном юге, и в степных просторах, и среди лесов, и в горах, и в пустыне и даже на воде. Как же люди на разных уголках земного шара устраивают свое жилье? Ответ на этот вопрос я нашла в Интернет-ресурсах на сайте «Национальная архитектура (типы жилья)». Этот термин применяется для обозначения методов строительства, использующие местные (легко доступные) ресурсы и традиции для удовлетворения местных нужд и условий проживания. Национальная архитектура стремится развиваться со временем в соответствии с происходящими изменениями в окружающей среде, культуре народа и историческом контексте. Знания о строительстве национального жилья часто передаются через местные традиции, и в основном они основываются на знаниях, добытых путем проб и ошибок на протяжении многих поколений, что отличается от геометрических и физических расчетов,
Но если мы будем сравнивать поверхность квадрата с поверхностью пятиугольника, шестиугольника и т.д. по тому же периметру обычный пятиугольник имеет большую поверхность, шестиугольник, еще большую площадь и т.д. легко проверить, взяв в качестве примера правильный шестиугольник.
Зная и выбирая землю с правильной формой шестиугольника, Паджом мог достигнуть поверхности 115 квадратных верст с тем же усилием, ландшафт, площадь которого превышает 115 - 78 квадратных верст, то есть в 37 квадратных верстах больше, на участок, который получил, а в 15 квадратных верстах больше, чем квадратная местность.
Лежащих в основе расчетов архитекторов.
Среди многих типов жилья я обнаружила множество круглых форм и хочу привести их в виде примера:
1. Рондавель распространён в странах юга Африки, в том числе, таких как ЮАР, Лесото Рондавель обычно имеет круглую форму (отсюда и название) и традиционно изготавливается из материалов, доступных в природе. Стены обычно делаются из камня. Основные элементы крыши рондавеля - балки из круглого лесоматериала или шесты из веток деревьев, обрезанных по длине.
Проблема. В шести матчах вам нужно сформировать фигуру с максимально возможной площадью. В шести матчах мы можем построить несколько разных фигур: равносторонний треугольник, прямоугольник, нерегулярные шестиугольники и, наконец, правильный шестиугольник.
Геометр, не сравнивая друг с другом, поверхности этих фигур, прекрасно знает, что фигура с наибольшей возможной поверхностью представляет собой правильный шестиугольник. Более крупные фигуры поверхности Мы можем геометрически доказать, что правильный многоугольник с наибольшим числом сторон достигает наибольшей возможной площади поверхности, как и другие многоугольники одного и того же периметра. Окружность охватывает максимально возможную поверхность для данного периметра. Если бы Паджом шел по кругу, пройдя через те же 40 верст, он получил бы много.
2. Пальясо , или пальоса - традиционный тип жилища в Галисии. Распространён в округе Сьерра-де-лос-Анкарес. В качестве жилищ пальясо использовались до 1970-х годов. Высотой 4-5 метров, круглого или овального сечения, диаметром от 10 до 20 метров, с конической крышей из соломы на деревянном каркасе. Стены пальясо сооружались из камня. В нем имелась только одна входная дверь, окна отсутствовали вообще или имелось
При максимально возможной площади поверхности для данного периметра никакая другая форма не достигается по окружности, будь то прямая или криволинейная. Позвольте мне немного остановиться в этом удивительном свойстве круга, поскольку он должен охватывать в своих пределах большую поверхность, чем любая другая фигура, имеющей один и тот же периметр. Возможно, некоторым читателям интересно узнать, как такие случаи показаны. По правде говоря, демонстрация этого свойства круга не является классической, он представляет математика Якова Штейнера.
Лишь небольшое оконное отверстие.
3. Яра́нга - шатер в виде усеченного конуса высотой в центре от 3,5 до 4,7 метра и диаметром от 5,7 до 7-8 метров. Используется как переносное жилище некоторых кочевых народов (чукчей, коряков, эвенов, юкагиров) северо-востока Сибири. Каркас собирают из лёгких деревянных шестов в форме слегка наклонённой внутрь стенки и конуса или купола над ней. Сверху каркас покрывают оленьими или моржовыми шкурами. В среднем на ярангу обычного размера требуется потратить около 50 шкур. Внутри яранга делится на жилое отапливаемое помещение - иоронгу - и кладовую, разделённые вертикальным пологом, образующим в плане квадрат.
Текст довольно длинный, и если вы считаете это слишком раздражающим, вы можете пропустить его, не беспокоясь о том, что не понимаете следующую часть. Необходимо показать, что фигура, охватывающая максимальную поверхность с заданным периметром, будет окружностью. Прежде всего, мы устанавливаем, что искомая фигура должна быть выпуклой. Это означает, что любая строка должна быть внутри фигуры.
Мы приказали, чтобы фигура с большей поверхностью также была выпуклая, а поверхность. Если строка делит периметр большей выпуклой фигуры пополам, она также режет свою поверхность пополам. То есть искомая фигура является выпуклой. Мы можем установить другое свойство этой фигуры: любая веревка, которая разделяет периметр пополам, также режет свою поверхность пополам. Прежде чем продолжить, мы продемонстрируем следующую дополнительную теорему: из всех треугольников с двумя известными сторонами она будет иметь большую поверхность, которая со своими боками образует прямой угол.
Существует формула вычисления периметра (длины) окружности. Но для этого сначала надлежит вспомнить, что такое окружность, и какие она имеет элементы. А окружность – есть кривая, которая не только плоская и замкнутая, но еще и все ее точки расположены на одинаковом удалении от заданной точки, зовущейся центром.
Отрезок прямой, соединяющий этот центр с какой-либо точкой окружности, есть радиус (R).
Но угол, синус которого равен 1, является прямым углом. Это то, что мы хотели показать. Предположим, что существует выпуклая фигура, не являющаяся кругом, с наибольшей поверхностью. Мы устанавливаем, что из всех фигур с заданным периметром одна из большей поверхности - это окружность.
Мы помещаем эти треугольники вместе их гипотенузой, как показано на рисунке 179, и соединяем их концы с заштрихованными областями. Тогда ни одна фигура вне круга не может иметь максимальную поверхность с одним и тем же периметром. Поддерживая вышеизложенное, мы показали, что круг представляет собой фигуру с максимальной поверхностью с заданным периметром. Нетрудно доказать справедливость этого свойства: из всех фигур равной поверхности круг имеет меньший периметр. Мы можем заметить, что мы можем применить к кругу все аргументы, которые мы использовали ранее для квадрата.
Отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий ее две точки, наиболее удаленные друг от друга, есть диаметр (D). Диаметр равен двум радиусам.
Отношение длины окружности к ее диаметру одинаково для любой окружности и равно постоянному числу 3, 14... Число это обозначается буквой π (пи).
Вот теперь можно и дать формулу вычисления периметра (длины) окружности: P = 2πR или π D.
Проблема с гвоздями Какой гвоздь сложнее удалить, круглый, квадратный или треугольный, если прибить к одной и той же глубине и иметь одну и ту же поверхность поперечного сечения? Интуитивно мы знаем, что гвоздь, который обладает наибольшей устойчивостью к экстракции, - это тот, который имеет большую поверхность контакта с деревом. Какой из трех гвоздей имеет большую поверхность контакта? Мы знаем, что с той же поверхностью периметр квадрата меньше периметра треугольника, а периметр окружности меньше периметра квадрата.
Поэтому треугольный гвоздь остается сильнее остальных. Однако этот тип гвоздей не производится или, по крайней мере, не продается. Это потому, что эти гвозди изгибаются и ломаются очень легко. Большее тело. Сферическая поверхность имеет кругподобное свойство: между телами одной и той же внешней поверхности сфера имеет наибольший объем. И наоборот, среди всех тел одинакового объема наименьшая поверхность является сферой. Эти свойства играют большую роль в практической жизни. Сферический самовар имеет меньшую поверхность, чем цилиндрическая или любая другая форма, причем все они содержат одинаковое количество сосудов; так как тело теряет тепло в зависимости от его поверхности, то сферический самовар охлаждается медленнее любого другого равного объема.
Цели исследования: Выявить зависимость между периметрами фигур и их площадью. Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре?
Гипотеза: Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры. Что нужно выяснить:
Мы знаем: Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Свойства: Свойства: 1. Равные фигуры имеют равные площади; 2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей; 3. За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равному единичному отрезку
Если у одой фигуры больше периметр, чем у второй, то ее площадь больше, меньше или по-разному? Заметили, если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше чем у других. Но если периметры равны то площади могут быть различны От чего зависят площади прямоугольников, если их периметры равны? Сначала мы рассмотрим прямоугольники Сначала мы рассмотрим прямоугольники
Слайд 5
Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в книге Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше.
Слайд 6
Из рисунка видно, что наибольшая площадь у прямоугольников, у которых длина равна ширине, то есть у квадратов Значит, из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат
Слайд 7
Как Пахом покупал землю (Задача Льва Толстого) - А цена какая будет?- говорит Пахом. - Цена у нас одна: 1000 руб.за день. Не понял Пахом. - Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет? Мы этого, - говорит, не умеем считать. А мы за день продаем: сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню 100 рублей… Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь все твое Какой путь должен выбрать Пахом, чтобы получить большую площадь земли?
Теперь мы знаем, что Пахом должен идти по сторонам квадрата Теперь мы знаем, что Пахом должен идти по сторонам квадрата А какие еще есть единицы площади? А какие еще есть единицы площади?
Для измерения земли используются следующие единицы: Метрические единицы площади 100 квадратных метров – а (ар): 100 квадратных метров – а (ар): 1 ар = 100 м2; 1 ар = 100 м2; Квадрат со стороной 100 метров – Квадрат со стороной 100 метров – га (гектар): 1 га = 10000 м2; 1 га = 10000 м2; Неметрические единицы площади
А если фигура не является прямоугольником? У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.
Вывод 1. Если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше, чем у других. 2. Ели периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различны. 3. Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. 4. У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.
Площадь и периметр – две численные характеристики, часто используемые в геометрии. Для их вычисления применяют одни и те же параметры, но смысл конечных величин имеет принципиальные различия. На упаковке многих товаров указывается площадь или размеры сторон в виде A х B (если речь идет о товаре, одна из сторон которого имеет форму прямоугольника).
Определение
Площадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура.
Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры.
Понятия применимы для каждой геометрической фигуры и выражаются в различных единицах. Расчет периметра и площади определяется единицами измерения параметров, используемых для их вычисления: длин сторон, диаметра, высоты. В геометрии указанные параметры чаще всего измеряются в мм, см, м.
Сравнение
Периметр обозначается заглавной буквой P , используется при измерении многоугольников и определяется как сумма длин его сторон. Площадь обозначается буквой S и может быть использована как численная характеристика поверхности, имеющей различный контур, в том числе искривленный. Понятие «квадратура» частично отражает смысл площади, в основе которой положено измерение квадрата поверхности.
Простейший случай – квадрат. Длины его сторон равны, поэтому для вычисления периметра достаточно умножить одну сторону на 4. Формула выглядит так:
Р = a + a + a + a = a х 4, где а – сторона квадрата.
Для вычисления площади квадрата используется другая формула:
S = a х a = a 2 .
Выводы сайт
- В случае с периметром речь идет о размерах контура, в случае площади – о размерах поверхности.
- Единица измерения S определяется как квадрат единицы измерения характеристик поверхности, для периметра она равна единице измерения сторон многоугольника.
- Периметр характеризует размеры многоугольника, площадь – более широкое понятие, применимое для поверхностей с различным контуром.
- Формулы для определения площадей сильно различаются, а для определения периметра достаточно просто сложить стороны многоугольника.